Question

【題目】如圖，點A是直線AM與⊙O的交點，點B在⊙O上，BD⊥AM垂足為D，BD與⊙O交于點C，OC平分∠AOB，∠B=60°．

（1）求證：AM是⊙O的切線；
（2）若DC=2，求圖中陰影部分的面積（結果保留π和根號）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠B=60°，

∴△BOC是等邊三角形，

∴∠1=∠2=60°，

∵OC平分∠AOB，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OA∥BD，

∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，

∴AM是⊙O的切線

（2）

解：∵∠3=60°，OA=OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴∠OAC=60°，

∵∠OAM=90°，

∴∠CAD=30°，

∵CD=2，

∴AC=2CD=4，

∴AD=2 ，

∴S陰影=S梯形OADC﹣S扇形OAC= （4+2）×2 ﹣ =6 ﹣

【解析】（1）由已知條件得到△BOC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠1=∠2=60°，由角平分線的性質得到∠1=∠3，根據平行線的性質得到∠OAM=90°，于是得到結論；（2）根據等邊三角形的性質得到∠OAC=60°，根據三角形的內角和得到∠CAD=30°，根據勾股定理得到AD=2 ，于是得到結論．