Question

如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P，Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB，BC方向勻速運動，其中點P運動的速度是1cm/s，點Q運動的速度是2cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t（s），

解答下列問題：
（1）當為何值時，△BPQ為直角三角形；
（2）設△BPQ的面積為S（cm²），求S與的函數關系式；
（3）作QR∥BA交AC于點R，連結PR，當為何值時，△APR∽△PRQ ？

Answer 1

（1）或3；（2）；（3）.

試題分析：(1)分兩種情況考慮：（i）當PQ⊥BC時，如圖所示，由速度是1厘米/秒，時間是t秒，利用速度×時間=路程表示出AP與BQ的長，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC為等邊三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用銳角三角函數定義及特殊角的三角函數值列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；（ii）當QP⊥AB時，如圖所示，由速度是1厘米/秒，時間是t秒，利用速度×時間=路程表示出AP與BQ的長，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC為等邊三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用銳角三角函數定義及特殊角的三角函數值列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，綜上，得到所有滿足題意的t的值．
(2)根據∠B為60°特殊角，過Q作QE⊥AB，垂足為E，則BQ、BP、高EQ的長可用t表示，S與t的函數關系式也可求；
（3）由題目線段的長度可證得△CRQ為等邊三角形，進而得出四邊形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR=60°，利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值．
試題解析：（1）分兩種情況考慮：（i）當PQ⊥BC時，如圖1所示：

由題意可得：AP=tcm，BQ=2t厘米，BP=（6-t）厘米，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，
即，
解得：t=（秒）；
（ii）當QP⊥AB時，如圖2所示：

由題意可得：AP=tcm，BQ=2t厘米，BP=（6-2t）厘米，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，，即，
解得：t=3（秒），
綜上所述，t=或3時，△BPQ為直角三解形；
（2）如圖3，過Q作QE⊥AB，垂足為E

由QB=2t，得QE=2t•sin60°=
由AP=t，得PB=6-t
∴S_△BPQ=×BP×QE=（6-t）×=
（3）如圖4，∵QR∥BA，

∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°
∴△QRC是等邊三角形，
∴QR=RC=QC=6-2t，
∵BE=BQ•cos60°=×2t=t，
∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t，
∴EP∥QR，EP=QR，
∴四邊形EPRQ是平行四邊形，
∴PR=EQ=
又∵∠PEQ=90°，
∴∠APR=∠PRQ=90°，
∵△APR∽△PRQ，
∴∠QPR=∠A=60°，
∴，即，
解得，
∴時，△APR∽△PRQ．
考點: 等邊三角形的性質；一元一次方程的應用．