Question

已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數(shù)圖象上的點，當四邊形ABCD（A、B、C、D各點依次排列）為正方形時，稱這個正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形．例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個伴侶正方形．

（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長是____________；
（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，則m的值為_________，反比例函數(shù)解析式_________________。

．

Answer 1

（1）或 ；（2）1，y=

解：（1）如圖1，當點A在x軸正半軸，點B在y軸負半軸上時，
∵OC=0D=1，
∴正方形ABCD的邊長CD=；
∵當點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時，
∴設(shè)正方形的邊長為a，
∴3a=CD=．
∴a=，
∴正方形邊長為 ，
∴一次函數(shù)y=x+1圖象的伴侶正方形的邊長為 或 ；
（2）如圖2，作DE，CF分別垂直于x、y軸，
∵AB=AD=BC，∠DAE=∠OBA=∠FCB，
∴△ADE≌△BAO≌△CBF．
∵m＜2，
∴DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m，
∴OF=BF+OB=2，
∴C點坐標為（2-m，2），
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：，
∵D（2，m），C（2-m，2）
∴
∴由②得：k=2m③，
∴把k=2m代入①得：2m=2（2-m），
∴解得m=1，k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=．