Question

在平面直角坐標系內，點O為坐標原點，直線y=

1

2

x+6交x軸于點A，交y軸于點B，過點B作AB的垂線交x軸于點C，∠ABC的平分線交AC于點D．
（1）求點D的坐標；
（2）若P從點A出發以每秒

5

個單位長度的速度向終點B運動，過點P作x軸的平行線交BD于點E，交BC于點F，設線段EF的長為y，點P運動的時間為t（t＞0）秒，求y與t之間的函數關系式，不需寫出自變量t的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，設同時經過B，C，D三點的圓交AB于B，G兩點，當t為何值時有EF=

5

3

PG？

Answer 1

分析：（1）由直線y=

1

2

x+6交x軸于點A，交y軸于點B，易求得點A與B的坐標，過點D作DH⊥AB于點H，又由BC⊥AB，∠ABC的平分線交AC于點D，易證得HD=HB，然后由勾股定理即可求得AD的長，繼而可求得點D的坐標；
（2）由平行線的性質與相似三角形的判定與性質，即可證得

BP

BA

=

EF

DC

，繼而可求得y與t之間的函數關系式；
（3）首先連接DG，CG，由圓周角定理，即可證得DG=CD，繼而可求得AG的長，然后分別從0＜t＜5與5＜t＜6時去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵直線y=

1

2

x+6交x軸于點A，交y軸于點B，
∴當x=0時，y=6，當y=0時，x=-12，
∴A（-12，0），B（0，6），
∴OA=12，OB=6，
∵BC⊥AB，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=45°，
過點D作DH⊥AB于點H，
則∠HDB=180°-∠DHB-∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠HDB，
∴HD=HB，
在Rt△AHD和Rt△ABO內，tan∠BAO=

DH

HA

=

OB

AO

=

6

12

=

1

2

，
∴AH=2HD=2BH，
在Rt△ABO中，AB=

OA2+OB2

=6

5

，
∴AH+BH=6

5

，
∴AH=4

5

，BH=HD=2

5

，
在Rt△ADH中，AD=

AH2+HD2

=

(4 5 )2+(2 5 )2

=10，
∴OD=2，
∴D（-2，0）；

（2）∵BC⊥AB，
∴∠ABO+∠OBC=90°，
∵∠BOA=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠OBC=∠BAO，
∴tan∠OBC=tan∠BAO=

1

2

，
在Rt△CBO中，tan∠OBC=

OC

OB

=

1

2

，OB=6，
∴OC=3，
∴DC=OD+OD=5，
∵PE∥AD，
∴

BP

BA

=

BE

BD

，
∵PF∥AC，
∴△BEF∽△BDC，
∴

BE

BD

=

EF

DC

，
∴

BP

BA

=

EF

DC

，
∵AP=

5

t，
∴BP=AB-AP=6

5

-

5

t，
∴

6 5 - 5 t

6 5

=

y

5

，
∴y=-

5

6

t+5；

（3）連接DG，CG，
∵∠GBC=90°，
∴CG為同時經過B，C，D三點的圓的直徑，
∴∠GDC=90°，
∵∠GBD與∠GCD是

GD

所對的圓周角，
∴∠GCD=∠GBD=45°，
∴∠DGC=180°-∠DCG-∠GDC=45°，
∴∠GCD=∠DGC，
∴GD=DC=5，
∵AD=10，
在Rt△ADG中，AG=

AD2+DG2

=

52+102

=5

5

，
∴當0＜t＜5時，PG=5

5

-

5

t，
∵EF=

5

3

PG，
∴-

5

6

t+5=

5

3

（5

5

-

5

t），
解得：t=4；
當5＜t＜6時，PG=

5

t-5

5

，
∵EF=

5

3

PG，
∴-

5

6

t+5=

5

3

（

5

t-5

5

），
解得：t=

16

3

；
∴當t=4或t=

16

3

時有EF=

5

3

PG．

點評：此題考查了一次函數的性質、相似三角形的判定與性質、三角函數的性質、等腰三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．