Question

如圖，一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=

k

x

的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，已知OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，點B的坐標為（m，-2）．
（1）求反比例函數及一次函數的解析式；
（2）在y軸上存在一點P，使得△PDC與△ODC相似，請你求出P點的坐標．

Answer 1

：（1）過A作AE垂直x軸，垂足為E，
∵tan∠AOC=

1

3

，
∴OE=3AE
∵OA=

10

，OE²+AE²=10，
∴AE=1，OE=3
∴點A的坐標為（3，1）．
∵A點在雙曲線上，
∴

k

3

=1，∴k=3．
∴雙曲線的解析式為y=

3

x

；

（2）∵點B（m，-2）在雙曲線y=

3

x

上，
∴-2=

3

m

，
∴m=-

3

2

．
∴點B的坐標為（

3

2

，-2）．
∴

3a+b=1 3 2 a+b=-2

，∴

a= 2 3 b=-1

∴一次函數的解析式為y=

2

3

x-1．

（3）過點C作CP⊥AB，交y軸于點P，
∵C，D兩點在直線y=

2

3

x-1上，
∴C，D的坐標分別是：C（

3

2

，0），D（0，-1）．
即：OC=

3

2

，OD=1，
∴DC=

13

2

．
∵△PDC∽△CDO，
∴

PD

DC

=

DC

OD

，
∴PD=

DC2

OD

=

13

4

，
又∵OP=DP-OD=

13

4

-1=

9

4

，
∴P點坐標為（0，

9

4

）．