Question

【題目】已知：線段CB=6，點(diǎn)A在線段BC上，且CA=2，以AB為直徑做半圓O，點(diǎn)D為半圓O上的動(dòng)點(diǎn)，以CD為邊向外作等邊△CDE．
（1）發(fā)現(xiàn)：CD的最小值是 ， 最大值是 ， △CBD面積的最大值是 ．
（2）思考：如圖1，當(dāng)線段CD所在直線與半圓O相切時(shí)，求弧BD的長．
（3）探究：如圖2，當(dāng)線段CD與半圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)D，M時(shí)，若CM=DM，求等邊△CDE面積．

Answer 1

【答案】
（1）2；6；6
（2）解：連接OD，

∵線段CD所在直線與半圓O相切，

∴OD⊥CD，

∵OC=4，OD=2，

∴∠C=30°，

∴∠COD=60°，

∴∠BOD=120°，

∴弧BD的長為： = π

（3）解：∵CM=DM，

∴CD=2CM，

由切割線定理得，CMCD=CACB=12，

解得，CM= ，

則CD=2 ，

∴等邊△CDE面積為： ×2 ×2 ×sin60°=6

【解析】解：（1）發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，CD最小，CD的最小值是2， 當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，CD最大，CD的最大值是6，
當(dāng)OD⊥CB時(shí)，CD最小，△CBD的面積最大，最大值為： ×6×2=6，
故答案為：2；6；6；
發(fā)現(xiàn)：根據(jù)圓的性質(zhì)、三角形的面積公式計(jì)算；
思考：連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥CD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠C，得到∠BOD，根據(jù)弧長公式計(jì)算即可；
探究：根據(jù)切割線定理求出CD，根據(jù)等邊三角形的面積公式計(jì)算即可．