Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y₁=2x²+

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的頂點為M，直線y₂=x，點P（n，0）為x軸上的一個動點，過點P作x軸的垂線分別交拋物線y₁=2x²+

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和直線y₂=x于點A，點B．
（1）直接寫出A，B兩點的坐標（用含n的代數式表示）；
（2）設線段AB的長為d，求d關于n的函數關系式及d的最小值，并直接寫出此時線段OB與線段PM的位置關系和數量關系；
（3）已知二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c為整數且a≠0），對一切實數x恒有x≤y≤2x²+

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，求a，b，c的值．

Answer 1

（1）當x=n時，y₁=2n²+

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，y₂=n；
∴A（n，2n²+

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），B（n，n）．

（2）d=AB=|y_A-y_B|=|2n²-n+

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|．
∴d=|2（n-

1

4

）²+

1

8

|=2（n-

1

4

）²+

1

8

．
∴當n=

1

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時，d取得最小值

1

8

．
此時，B（

1

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，

1

4

），而M（0，

1

4

）、P（

1

4

，0）
∴四邊形OMBP是正方形
∴當d取最小值時，線段OB與線段PM的位置關系和數量關系是OB⊥PM且OB=PM．（如圖）

（3）∵對一切實數x恒有x≤y≤2x²+

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，
∴對一切實數x，x≤ax²+bx+c≤2x²+

1

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都成立．（a≠0）①
當x=0時，①式化為0≤c≤

1

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．
∴整數c的值為0．
此時，對一切實數x，x≤ax²+bx≤2x²+

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都成立．（a≠0）
即

x≤ax2+bx② ax2+bx≤2x2+ 1 4 ③

對一切實數x均成立．
由②得ax²+（b-1）x≥0（a≠0）對一切實數x均成立．
∴

a＞0④ △1=(b-1)2≤0⑤

由⑤得整數b的值為1．
此時由③式得，ax²+x≤2x²+

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4

對一切實數x均成立．（a≠0）
即（2-a）x²-x+

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≥0對一切實數x均成立．（a≠0）
當a=2時，此不等式化為-x+

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≥0，不滿足對一切實數x均成立．
當a≠2時，∵（2-a）x²-x+

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4

≥0對一切實數x均成立，（a≠0）
∴

2-a＞0⑥ △2=(-1)2-4×(2-a)× 1 4 ≤0⑦

∴由④，⑥，⑦得0＜a≤1．
∴整數a的值為1．
∴整數a，b，c的值分別為a=1，b=1，c=0．