Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S．求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

（1）設拋物線解析式為y=a（x+4）（x-2），
將B（0，-4）代入得：-4=-8a，即a=

1

2

，
則拋物線解析式為y=

1

2

（x+4）（x-2）=

1

2

x²+x-4；

（2）過M作MN⊥x軸，
將x=m代入拋物線得：y=

1

2

m²+m-4，即M（m，

1

2

m²+m-4），
∴MN=|

1

2

m²+m-4|=-

1

2

m²-m+4，ON=-m，
∵A（-4，0），B（0，-4），∴OA=OB=4，
∴△AMB的面積為S=S_△AMN+S_梯形MNOB-S_△AOB
=

1

2

×（4+m）×（-

1

2

m²-m+4）+

1

2

×（-m）×（-

1

2

m²-m+4+4）-

1

2

×4×4
=2（-

1

2

m²-m+4）-2m-8
=-m²-4m
=-（m+2）²+4，
當m=-2時，S取得最大值，最大值為4．