Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂）的“非常距離”，給出如下定義：

若|x₁﹣x₂|≥|y₁﹣y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|x₁﹣x₂|；

若|x₁﹣x₂|＜|y₁﹣y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|y₁﹣y₂|．

例如：點(diǎn)P₁（1，2），點(diǎn)P₂（3，5），因?yàn)閨1﹣3|＜|2﹣5|，所以點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|2﹣5|=3，也就是圖1中線(xiàn)段P₁Q與線(xiàn)段P₂Q長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線(xiàn)P₁Q與垂直于x軸的直線(xiàn)P₂Q交點(diǎn)）．

（1）已知點(diǎn)A（﹣，0），B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②直接寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值；

（2）已知C是直線(xiàn)y=x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

①如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②如圖3，E是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)E與點(diǎn)C的坐標(biāo)．

　

Answer 1

解：（1）①∵B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．

∵|﹣﹣0|=≠2，

∴|0﹣y|=2，

解得，y=2或y=﹣2；

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2）或（0，﹣2）；

②點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值為

（2）①如圖2，取點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值時(shí)，需要根據(jù)運(yùn)算定義“若|x₁﹣x₂|≥|y₁﹣y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|x₁﹣x₂|”解答，此時(shí)|x₁﹣x₂|=|y₁﹣y₂|．即AC=AD，

∵C是直線(xiàn)y=x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），

∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₀，x₀+3），

∴﹣x₀=x₀+2，

此時(shí)，x₀=﹣，

∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值為：|x₀|=，

此時(shí)C（﹣，）；

②當(dāng)點(diǎn)E在過(guò)原點(diǎn)且與直線(xiàn)y=x+3垂直的直線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”最小，設(shè)E（x，y）（點(diǎn)E位于第二象限）．則

，

解得，，

故E（﹣，）．

﹣﹣x₀=x₀+3﹣，

解得，x₀=﹣，

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣，），

最小值為1．