Question

【題目】已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直線l經(jīng)過點(diǎn)A（不經(jīng)過點(diǎn)B或點(diǎn)C），點(diǎn)C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接BD，CD．

（1）如圖1，

①求證：點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上.

②直接寫出∠BDC的度數(shù)（用含α的式子表示）為___________.

（2）如圖2，當(dāng)α=60°時，過點(diǎn)D作BD的垂線與直線l交于點(diǎn)E，求證：AE=BD；

圖1 圖2

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析；②；（2）證明見解析.

【解析】

（1）①連結(jié)AD，由線段的垂直平分線的性質(zhì)得AD=AC，AB=AC，故可得AB=AC=AD，從而查得出結(jié)論；

②由圓周角定理可得出結(jié)論；

（2）連結(jié)CE，易證△CDE和△ABC為等邊三角形，從而可證，進(jìn)而得出結(jié)論.

（1）①證明：連接，如圖1．

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，

∴．

∵，

∴．

∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．

②點(diǎn)B,C,D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，根據(jù)弧BC所對的圓周角是圓心角的一半，所以∠BDC=．

（2）證明：連接，如圖2．

∵°，

∴°．

∵，

∴°°．

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，

∴．

∴是等邊三角形．

∴，°．

∵，°，

∴是等邊三角形．

∴，°．

∵，，

∴．

∴．

∴．