Question

如圖，拋物線交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，將此拋物線向右平移4個單位得拋物線y₂，兩條拋物線相交于點C．

（1）請直接寫出拋物線y₂的解析式；
（2）若點P是x軸上一動點，且滿足∠CPA=∠OBA，求出所有滿足條件的P點坐標；
（3）在第四象限內拋物線y₂上，是否存在點Q，使得△QOC中OC邊上的高h有最大值？若存在，請求出點Q的坐標及h的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）拋物線向右平移4個單位的頂點坐標為（4，－1），
∴拋物線y₂的解析式為。
（2）當x=0時，y₁=﹣1，y₁=0時，=0，解得x=1或x=－1，
∴點A（1，0），B（0，－1）。∴∠OBA=45⁰。
聯立，解得。
∴點C的坐標為（2，3）。
∵∠CPA=∠OBA，
∴點P在點A的左邊時，坐標為（－1，0）；在點A的右邊時，坐標為（5，0）。
∴點P的坐標為（－1，0）或（5，0）。
（3）存在。
∵點C（2，3），∴直線OC的解析式為，
設與OC平行的直線，
聯立，消掉y得，，
當△=0，方程有兩個相等的實數根時，△QOC中OC邊上的高h有最大值，
此時，由一元二次方程根與系數的關系，得，
∴此時，。
∴存在第四象限的點Q（，），使得△QOC中OC邊上的高h有最大值，
此時，解得。
∴過點Q與OC平行的直線解析式為。
令y=0，則，解得。
設直線與x軸的交點為E，則E（，0）。
過點C作CD⊥x軸于D，

根據勾股定理，，
則由面積公式，得，即。
∴存在第四象限的點Q（，），使得△QOC中OC邊上的高h有最大值，最大值為。

解析