Question

如圖：四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點，順次連結E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點四邊形．連結AC、BD，容易證明：中點四邊形EFGH一定是平行四邊形．

(1)如果改變原四邊形ABCD的形狀，那么中點四邊形的形狀也隨之改變，通過探索可以發現：

當四邊形ABCD的對角線滿足AC＝BD時，四邊形EFGH為菱形；

當四邊形ABCD的對角線滿足________時，四邊形EFGH為矩形；

當四邊形ABCD的對角線滿足________時，四邊形EFGH為正方形．

(2)探索△AEH、△CFG與四邊形ABCD三者的面積有何等量關系，請寫出你發現的結論，并加以證明．

(3)利用(2)的結論計算：如果四邊形ABCD的面積為2，那么中點四邊形EFGH的面積是________．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)AC⊥BD；AC⊥BD且AC＝BD　　4分 　　(2)S△AEH＋S△CFG＝S四邊形ABCD　　6分 　　證明：在△ABD中，EH∥BD且EH＝BD． 　　△AEH∽△ABD，，即S△AEH＝S△ABD．　　8分 　　同理可證：S△CFG＝S△CBD　　9分 　　∴S△AEH＋S△CFG＝(S△ABD＋S△CBD)＝S四邊形ABCD　　10分 　　(3)1　　12分