Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D，連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點（P不與B，C兩點重合），過點P作x軸的垂線交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m（0＜m＜3）

（1）當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形；

（2）設△BCF的面積為S，求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）m=2（2）

【解析】試題分析：（1）PF的長就是當x=m時，拋物線的值與直線BC所在一次函數的值的差．可先根據B，C的坐標求出BC所在直線的解析式，然后將m分別代入直線BC和拋物線的解析式中，求得出兩函數的值的差就是PF的長． 根據直線BC的解析式，可得出E點的坐標，根據拋物線的解析式可求出D點的坐標，然后根據坐標系中兩點的距離公式，可求出DE的長，然后讓PF=DE，即可求出此時m的值．

（2）可將△BCF分成兩部分來求：一部分是△PFC，以PF為底邊，以P的橫坐標為高即可得出△PFC的面積． 一部分是△PFB，以PF為底邊，以P、B兩點的橫坐標差的絕對值為高，即可求出△PFB的面積． 然后根據△BCF的面積=△PFC的面積+△PFB的面積，可求出關于S、m的函數關系式．

解：（1）對于拋物線y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點D（1，4）

令x=0，得到y=3；

令y=0，得到﹣x2+2x+3=0，即（x﹣3）（x+1）=0，

解得：x=﹣1或x=3，

則A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線對稱軸為直線x=1；

設直線BC的函數解析式為y=kx+b，

把B（3，0），C（0，3）分別代入得：，

解得：k=﹣1，b=3，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

當x=1時，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2），

∴DE=4﹣2=2，

∵PF⊥x軸，

∴P（m，﹣m+3），F（m，﹣m2+2m+3），

∴線段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，

連接DF，由PF∥DE，得到當PF=DE時，四邊形PEDF為平行四邊形，

由﹣m2+3m=2，得到m=2或m=1（不合題意，舍去），

當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形；

（2）∵B（3，0），

∴OB=3，

∴S=PFOB=×3（﹣m2+3m）=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3），

則當m=時，S取得最大值為．