Question

如圖，點P是雙曲線y=-

12

x

（x＜0）上一動點，過點P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點，交雙曲線y=

6

x

于E、F兩點．
（1）圖1中，四邊形PEOF的面積S₁=______；
（2）圖2中，設P點坐標為（-4，3）．
①判斷EF與AB的位置關系，并證明你的結論；
②記S₂=S_△PEF-S_△OEF，求S₂．

Answer 1

（1）四邊形PEOF的面積S₁=四邊形PAOB的面積+△OAE的面積+△OBF的面積=|k₁|+k₂=k₂+k₁=12+6=18

（2）①EF與AB的位置關系為平行，即EF∥AB．
證明：如圖，由題意可得：
A（-4，0），B（0，3），E（-4，-

3

2

），F（2，3），
∴PA=3，PE=3+

3

2

=

9

2

，PB=4，PF=4+2=6，
∴

PB

PF

=

4

6

=

2

3

，

PA

PE

=

3

9 2

=

2

3

，
∴

PB

PF

=

PA

PE

，
又∵∠APB=∠EPF，
∴△APB∽△EPF，
∴∠PAB=∠PEF，
∴EF∥AB；
②S₂沒有最小值，理由如下：
過E作EM⊥y軸于點M，過F作FN⊥x軸于點N，兩線交于點Q，
由上知M（0，-

3

2

），N（2，0），Q（2，-

3

2

），
而S_△EFQ=S_△PEF，
則S₂=S_△PEF-S_△OEF=S_△EFQ-S_△OEF
=S_△EOM+S_△FON+S_矩形OMQN
=12×

1

2

+6×

1

2

+2×

3

2

=6+3+3
=12．
故答案為12．