Question

【題目】如圖，在正方形 ABCD 中，E是BC的中點，F是CD上一點，AE⊥EF．有下列結論：

①∠BAE＝30°；

②射線FE是∠AFC的角平分線；

③CF＝CD；

④AF＝AB＋CF．

其中正確結論的個數為（ ）

A.1 個B.2 個C.3 個D.4 個

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據點E為BC中點和正方形的性質，得出∠BAE的正切值，從而判斷①，再證明△ABE∽△ECF，利用有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似即可證得△ABE∽△AEF，可判斷②③，過點E作AF的垂線于點G，再證明△ABE≌△AGE，△ECF≌△EGF，即可證明④.

解：∵E是BC的中點，

∴tan∠BAE=，

∴∠BAE30°，故①錯誤；

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，
∴∠BAE=∠CEF，

在△BAE和△CEF中，

，
∴△BAE∽△CEF，

∴，

∴BE=CE=2CF，

∵BE=CF=BC=CD，

即2CF=CD，

∴CF=CD，

故③錯誤；

設CF=a，則BE=CE=2a，AB=CD=AD=4a，DF=3a，

∴AE=a，EF=a，AF=5a，

∴，，

∴，

又∵∠B=∠AEF，

∴△ABE∽△AEF，

∴∠AEB=∠AFE，∠BAE=∠EAG，

又∵∠AEB=∠EFC，

∴∠AFE=∠EFC，

∴射線FE是∠AFC的角平分線，故②正確；

過點E作AF的垂線于點G，

在△ABE和△AGE中，

，

∴△ABE≌△AGE（AAS），

∴AG=AB，GE=BE=CE，

在Rt△EFG和Rt△EFC中，

，

Rt△EFG≌Rt△EFC（HL），

∴GF=CF，

∴AB+CF=AG+GF=AF，故④正確.

故選B.