Question

【題目】如圖，直線y=﹣ x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A，B兩點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是第一象限拋物線上的一點，連接PA、PB、PO，若△POA的面積是△POB面積的 倍．
①求點P的坐標；
②點Q為拋物線對稱軸上一點，請直接寫出QP+QA的最小值；
（3）點M為直線AB上的動點，點N為拋物線上的動點，當以點O、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線y=﹣ x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴A（2，0），B（0，1），

∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、B兩點，

∴ ，

∴

∴拋物線解析式為y=﹣x2+ x+1

（2）解：①由（1）知，A（2，0），B（0，1），

∴OA=2，OB=1，

由（1）知，拋物線解析式為y=﹣x2+ x+1，

∵點P是第一象限拋物線上的一點，

∴設P（a，﹣a2+ a+1），（（a＞0，﹣a2+ a+1＞0），

∴S△POA= OA×Py= ×2×（﹣a2+ a+1）=﹣a2+ a+1

S△POB= OB×Px= ×1×a= a

∵△POA的面積是△POB面積的 倍．

∴﹣a2+ a+1= × a，

∴a= 或a=﹣ （舍）

∴P（ ，1）；

②如圖1，

由（1）知，拋物線解析式為y=﹣x2+ x+1，

∴拋物線的對稱軸為x= ，拋物線與x軸的另一交點為C（﹣ ，0），

∵點A與點C關于對稱軸對稱，

∴QP+QA的最小值就是PC=

（3）解：①當OB為平行四邊形的邊時，MN=OB=1，MN∥OB，

∵點N在直線AB上，

∴設M（m，﹣ m+1），

∴N（m，﹣m2+ m+1），

∴MN=|﹣m2+ m+1﹣（﹣ m+1）|=|m2﹣2m|=1，

Ⅰ、m2﹣2m=1，

解得，m=1± ，

∴M（1+ ， （1﹣ ））或M（1﹣ ， （1+ ））

Ⅱ、m2﹣2m=﹣1，

解得，m=1，

∴M（1， ）；

②當OB為對角線時，OB與MN互相平分，交點為H，

∴OH=BH，MH=NH，

∵B（0，1），O（0，0），

∴H（0， ），

設M（n，﹣ n+1），N（d，﹣d2+ d+1）

∴ ，

∴ 或 ，

∴M（﹣（1+ ）， （3+ ））或M（﹣（1﹣ ）， （3﹣ ））；

即：滿足條件的點M的坐標（1+ ， （1﹣ ））或（1﹣ ，﹣ （1+ ））或（1， ）或M（﹣（1+ ）， （3+ ））或M（﹣（1﹣ ）， （3﹣ ））

【解析】（1） 先通過直線解析式求AB求出坐標，再代入拋物線解析式 ；（2）設出P的坐標，用P的橫坐標a表示其 縱坐標，再表示△POA的面積與△POB面積，按照題意列出關于a的方程；（3）利用對稱法求兩線段和最小值，A的對稱點就是拋物線與x軸的另一個交點C，連接PC與對稱軸相交即可求出Q點；（4）“以點O、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形”可找出一對固定點，對它進行分類討論： OB為平行四邊形的邊；OB為對角線，OB與MN互相平分；按照幾何關系構建關于M的橫坐標為未知數的方程求解.