Question

如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，E、F分別是AB、AC的中點.

⑴若∠C=70°，求∠AFD的度數
⑵當△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形？為什么？
⑶在⑵的基礎上，△ABC還需滿足什么條件才能使四邊形AEDF為正方形？為什么？

Answer 1

（1）140°（2）AB=AC，證明略 （3）AB=AC且∠BAC=90°，證明略

（1）由AD垂直于BC，根據垂直定義得到∠ADC=90°，即三角形ADC為直角三角形，又F為AC的中點，根據斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得DF等于AC的一半，再根據中點定義得到AF與CF相等，且都等于AC的一半，等量代換可得DF=CF，根據等邊對等角得到∠FDC=∠C，由∠C的度數求出∠FDC的度數，由∠AFD為三角形FDC的外角，根據外角性質即可求出所求角的度數；
（2）三角形ABC滿足AB=AC時，四邊形AEDF為菱形，理由為：由AB=AC，且AD與BC垂直，根據三線合一得到D為BC的中點，又F為中點，可得DF為三角形ABC的中位線，可得DF與AB平行，且等于AB的一半，又AE也為AB的一半，等量代換可得AE=DF，又AE與DF平行，根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，再由DE也為三角形ABC的中位線，可得ED等于AC的一半，由AB=AC，等量代換可得DE=DF，根據鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得AEDF為菱形；
（3）由第二問三角形ABC滿足AB=AC，得到AEDF為菱形，再加上∠BAC=90°，根據有一個角為直角的菱形為正方形可得AEDF為正方形．