Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，AB=AC，點E、F分別為邊AB、BC上的點，且AE=BF，連接CE、AF交于點H，連接DH交AG于點O．則下列結論①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH中，正確的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

試題分析：由菱形ABCD中，AB=AC，易證得△ABC是等邊三角形，則可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可證得△ABF≌△CAE；則可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性質，即可求得∠AHC=120°；在HD上截取HK=AH，連接AK，易得點A，H，C，D四點共圓，則可證得△AHK是等邊三角形，然后由AAS即可證得△AKD≌△AHC，則可證得AH+CH=DH．

解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵AB=AC，

∴AB=BC=AC，

即△ABC是等邊三角形，

同理：△ADC是等邊三角形

∴∠B=∠EAC=60°，

在△ABF和△CAE中，

，

∴△ABF≌△CAE（SAS）；

故①正確；

∴∠BAF=∠ACE，

∵∠AEH=∠B+∠BCE，

∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；

故②正確；

在HD上截取HK=AH，連接AK，

∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，

∴點A，H，C，D四點共圓，

∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH，

∴△AHK是等邊三角形，

∴AK=AH，∠AKH=60°，

∴∠AKD=∠AHC=120°，

在△AKD和△AHC中，

，

∴△AKD≌△AHC（AAS），

∴CH=DK，

∴DH=HK+DK=AH+CH；

故③正確；

故選D．