Question

（本小題滿分10分）
如圖1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M =∠B，M是正方形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E．
⑴求證：ME = MF．
⑵如圖2，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，其他條件不變，探索線段ME與線段MF的關系，并加以證明．
⑶如圖3，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且AB = mBC，其他條件不變，探索線段ME與線段MF的關系，并說明理由．
⑷根據前面的探索和圖4，你能否將本題推廣到一般的平行四邊形情況？若能，寫出推廣命題；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：過點Ｍ作ＭＨ⊥ＡＢ于Ｈ，ＭＧ⊥ＡＤ于Ｇ，連接ＡＭ
∵Ｍ是正方形ＡＢＣＤ的對稱中心，∴Ｍ是正方形ＡＢＣＤ對角線的交點，
∴ＡＭ平分∠ＢＡＤ，∴ＭＨ＝ＭＧ
在正方形ＡＢＣＤ中，∠Ａ=90°，∵∠MHA=∠MGA=90°∴∠ＨＭＧ=90°，
在正方形ＱＭＮＰ，∠ＥＭＦ=90°∴∠EMF=∠HMG.∴∠EMH=∠FMG，∵∠MHE=∠MGF，
∴△MHE≌△MGF，∴ME=MF.---------3分
(2) ME=MF。證明：過點M作MH⊥AＢ于H，MG⊥AＤ于G，連接AM，
∵M是菱形ABCD的對稱中心，∴M是菱形ABCD對角線的交點，∴AM平分∠BAD，∴MH=MG，∵BC∥AD，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠M=∠B，∴∠M+∠BAD=180°
又∠MHA=∠MGF=90°，在四邊形HMGA中，∠HMG+∠BAD=180°，∴∠EMF=∠HMG.
∴∠EMH=∠FMG,∵∠MHE=∠MGF,∴△MHE≌△MGF,∴ME=MF。----------6分
（3）ME=mMF.證明：過點Ｍ作ＭＨ⊥ＡＢ于Ｈ，ＭＧ⊥ＡＤ于Ｇ，
在矩形ABCD中，∠Ａ＝∠Ｂ=90°∴∠EＭF＝∠Ｂ=90°，
又∵∠ＭＨＡ＝∠ＭＧＡ＝９０°，在四邊形HMGA中，∴∠ＨＭＧ＝９０°，
∴∠ＥＭＦ＝∠ＨＭＧ，∴∠ＥＭＨ＝∠ＦＭＧ．∵∠ＭＨＥ＝∠ＭＧＦ，
∴△ＭＨＥ∽△ＭＧＦ，∴，
又∵Ｍ是矩形ＡＢＣＤ的對稱中心，∴M是矩形ＡＢＣＤ對角線的中點
∴ＭＧ∥ＢＣ，∴ＭＧ＝ＢＣ．同理可得ＭＨ＝ＡＢ，
∵AB = mBC∴ＭＥ＝ｍＭＦ。-----------------9分
（４）平行四邊形ＡＢＣＤ和平行四邊形ＱＭＮＰ中，∠Ｍ＝∠Ｂ，ＡＢ＝ｍＢＤ，
Ｍ是平行四邊形ＡＢＣＤ的對稱中心，ＭＮ交ＡＢ于Ｆ，ＡＤ交ＱＭ于Ｅ。
則ＭＥ＝ｍＭＦ．--------------10分

略