Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為6，E，F分別是AB，BC邊上的點，且∠EDF=45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM．

（1）求證：EF=FM．

（2）當AE=2時，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）EF=5．

【解析】試題分析：（1）由旋轉可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出EF=MF；

（2）由第一問的全等得到AE=CM=2，正方形的邊長為6，用AB-AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=8-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為EF的長．

（1）證明：∵△DAE逆時針旋轉90°得到△DCM，

∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，

∴F、C、M三點共線，

∴DE=DM，∠EDM=90°，

∴∠EDF+∠FDM=90°，

∵∠EDF=45°，

∴∠FDM=∠EDF=45°，

在△DEF和△DMF中，

，

∴△DEF≌△DMF（SAS），

∴EF=MF；

（2）解：設EF=MF=x，

∵AE=CM=2，且BC=6，

∴BM=BC+CM=6+2=8，

∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=8﹣x，

∵EB=AB﹣AE=6﹣2=4，

在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，

即42+（8﹣x）2=x2，

解得：x=5，

則EF=5．