Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A（－1，0）和B（3，0）兩點，與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點E，點D為頂點，連接BD、CD、BC．

（1）求證△BCD是直角三角形；

（2）點P為線段BD上一點，若∠PCO＋∠CDB＝180°，求點P的坐標；

（3）點M為拋物線上一點，作MN⊥CD，交直線CD于點N，若∠CMN＝∠BDE，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）△BCD是直角三角形（2）P（， ）（3）M（， ）或M（， ）

【解析】試題分析：（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式求出b、c的值，然后寫出解析式，求得C、D兩點的坐標，根據勾股定理及勾股定理的逆定理即可判定△BCD是直角三角形；（2）作PQ⊥OC于點Q，可得△PCQ∽△BDC，根據相似三角形的性質可得PQ＝3CQ ，設 設P（3m，－3－m）代入直線BD的解析式求得M的值，即可得點P的坐標；（3）分點M在對稱軸右側和點M在對稱軸左側兩種情況進行討論：（Ⅰ）當點M在對稱軸右側時，分點N在射線CD上和點N在射線DC上兩種情況討論；（Ⅱ）當點M在對稱軸左側時，由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根據直角三角形兩銳角互余得出∠MCN＞45°，而拋物線左側任意一點K，都有∠KCN＜45°，所以點M不存在，由此求的M（， ）或M（， ）.

試題解析：

（1） ，C（0，－3），D（1，－4）

∴，

△BCD是直角三角形

（2）作PQ⊥OC于點Q，∴△PCQ∽△BDC，∴PQ＝3CQ

設P（3m，－3－m）代入直線BD： 得：

∴P（， ）

（3）M（， ）或M（， ）