Question

如圖，⊙O的直徑為10，在⊙O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P，已知BC：CA=4：3，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點．
（1）求證：AC•CD=PC•BC；
（2）當點P運動到AB弧中點時，求CD的長．

Answer 1

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥CP，
∴∠PCD=90°，
∴∠ACB=∠PCD，
∵∠A與∠P是對的圓周角，
∴∠A=∠P，
∴△ABC∽△PDC，
∴，
∴AC•CD=PC•BC；

（2）解：當點P運動到的中點時，過點B作BE⊥PC于E，
∵BC：CA=4：3，AB=10，
∴BC=8，AC=6，
∵點P是的中點，
∴∠PCB=∠ACB=45°，
∴BE=CE=BC•sin45°=8×=4，
在Rt△EPB中，tan∠P=tan∠A===，
∴PE=BE=3，
∴PC=PE+CE=7，
∴CD=PC•tan∠P=×7=．
分析：（1）由AB是⊙O的直徑，CD⊥CP，可得∠ACB=∠PCD=90°，又由∠A與∠P是對的圓周角，由圓周角定理，可得∠A=∠P，即可判定△ABC∽△PDC，又由相似三角形的對應邊成比例，求得答案；
（2）首先過點B作BE⊥PC于E，由點P是的中點，可得∠PCB=∠ACB=45°，然后利用三角函數的性質，求得BE，CE的長，繼而求得PE，CD的長．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、勾股定理以及銳角三角函數的知識．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想與轉化思想的應用．