Question

（2013年四川資陽3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，點D是BC邊上的點，CD=1，將△ABC沿直線AD翻折，使點C落在AB邊上的點E處，若點P是直線AD上的動點，則△PEB的周長的最小值是
　 　．

Answer 1

1+。

連接CE，交AD于M，

∵沿AD折疊C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD。
∴AD垂直平分CE，即C和E關于AD對稱，CD=DE=1。
∴當P和D重合時，PE+BP的值最小，即可此時△BPE的周長最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BC。
∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°。
∵∠B=60°，DE=1，∴BE=，BD=，即BC=1+。
∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠CAB=30°。
∴AB=2BC=2×（1+）=2+。AC=BC=+2。
∴BE=AB﹣AE=2+﹣（+2）=。
∴△PEB的周長的最小值是BC+BE=1++=1+。