Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點A、B兩點（A在B的左側）與y軸交于C點，且OA：OC=1：3，S△ABC=6．

（1）求拋物線的函數關系式；

（2）拋物線上是否存在一點D（點C除外），使S△ABD=S△ABC？若存在，求出D點坐標；若不存在，說明理由．

（3）拋物線上是否存在一點E（點B除外），使S△ACE=S△ABC？若存在，求出E點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）拋物線上存在一點D（點C除外），使S△ABD=S△ABC，D點坐標（2，3），（1﹣，﹣3），D（1+，﹣3）；（3）存在，E（﹣4．﹣21）．

【解析】

試題分析：（1）根據三角形的面積，可得AB的長，根據線段的和差，可得B點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據平行線間的距離相等，可得D點的縱坐標，根據函數值，可得答案；

（3）根據平行線的一次函數的一次項系數相等，可得BE的解析式，根據解方程組，可得E點坐標．

解：（1）當x=0時，y=3，即OC=3．

由OA：OC=1：3，

解得OA=1，即A點坐標為（﹣1，0）．

由S△ABC=ABOC=6，

解得AB=4．﹣1+4=3，

即B（3，0）．

將A、B點的坐標代入函數解析式，得，

解得，

拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）如圖1：

，

根據平行線間的距離相等，可得D點的縱坐標為3或﹣3．

當y=3時，﹣x2+2x+3=3，解得x=0（不符合題意，舍），x=2，

即D點的坐標為（2，3）；

當y=﹣3時，﹣x2+2x+3=﹣3．

解得x=1﹣，x=1+，

即D點坐標為（1﹣，﹣3），（1+，﹣3）；

綜上所述：拋物線上存在一點D（點C除外），使S△ABD=S△ABC，D點坐標（2，3），（1﹣，﹣3），D（1+，﹣3）；

（3）過點B作AC平行線，如圖2

，

S△ACE=S△ABC，由平行線間的距離相等，得

設AC的函數解析式y=kx+b，將A、C點的坐標代入函數解析式，得

，

解得

函數解析式為y=3x+3，

由BE∥AC，設BE的解析式為y=3x+b，將B點坐標代入函數解析式，得

3×3+b=0．

解得b=﹣9，

即BE的解析式為y=3x﹣9，

聯立BE與拋物線，得

，

解得x=﹣4，x=3（不符合題意，舍），

當x=﹣4時，y=3×（﹣4）﹣9=﹣21，

即E（﹣4．﹣21）．