Question

在學(xué)習(xí)扇形的面積公式，同學(xué)們得到扇形的面積公式S扇=

n

360

•πR2=

1

2

C1R，扇形有人也叫它“曲邊三角形”，其面積公式S扇=

1

2

C1R類似于三角形的面積公式，把弧長(zhǎng)C₁看作底，把半徑R看作高就行了．當(dāng)學(xué)了扇形的面積公式后，小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：“某小區(qū)設(shè)計(jì)的花壇如下圖中的陰影部分（扇環(huán)），它是一個(gè)大扇形去掉一個(gè)小扇形得到的，弧AB的長(zhǎng)為C₁弧CD的長(zhǎng)為C₂，AC=BD=d求花壇的面積．”受“曲邊三角形”面積公式的啟發(fā)，小明猜測(cè)扇環(huán)的面積應(yīng)該類似梯形面積公式，他猜想花壇ABCD的面積，他的猜想對(duì)嗎？如果正確，寫出推導(dǎo)過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：先利用扇形的面積公式和弧長(zhǎng)公式分別把扇形AOB和扇形COD的面積和弧長(zhǎng)表示出來(lái)，扇環(huán)的面積=扇形AOB的面積-扇形COD的面積，通過(guò)公式變形和線段的和差關(guān)系得到扇環(huán)面積與扇形的弧長(zhǎng)和半徑差之間的關(guān)系：S=

1

2

（C₁+C₂）d．

解答：解：小明的猜想正確．
理由如下：
設(shè)∠AOB=∠COD=n°
扇形AOB的面積S1=

nπ•OA2

360

，
扇形COD的面積S2=

nπ•OC2

360

，
扇形AOB的弧長(zhǎng)C1=

nπ•OA

180

，
扇形COD的弧長(zhǎng)C2=

nπ•OC

180

．
所以扇環(huán)的面積S=S1-S2=

nπ•OA2

360

-

nπ•OC2

360

=

nπ

360

（OA²-OC²）
=

nπ

360

（OA-OC）（OA+OC）
=

nπ

360

•(OA+OC)•d
=

1

2

(

nπ

180

•OA+

nπ

180

•OC)•d
=

1

2

(C1+C2)•d
因此，小明的猜想對(duì)．

點(diǎn)評(píng)：解決本題首先要牢記扇形的面積公式和弧長(zhǎng)公式以及扇形的面積與弧長(zhǎng)之間的等量關(guān)系．面積公式：S=

nπr2

360

；弧長(zhǎng)公式：C=

nπr

180

；扇形的面積與弧長(zhǎng)之間的等量關(guān)系：S=

1

2

C•r．