Question

【題目】如圖，四邊形的頂點、分別在、軸的正半抽上，點是上的一點，，點的坐標為.動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿線段向點運動，過點作的垂線交線段于點，以線段為斜邊向右作等腰直角.設點的運動時間為秒().

(1) 點F的坐標為( ， )點的坐標為( ， )(用含的代數式表示)，

(2)連接、，當為何值時，以、、為頂點的三角形與相似?

(3)設點從點出發時，點、、都與點重合，點在運動過程中，當 的面積為時，求點運動的時間的值﹒

Answer 1

【答案】(1) G(); (2) t=2或t=-2；(3)見解析.

【解析】

根據等腰直角三角形的性質和勾股定理，求出CF=EF=t，然后表示出F點的坐標，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出G的坐標；

（2）根據相似三角形的對應邊相等，分類討論求出t的值即可；

（3）求出直線AB的解析式，過點G作x軸的平行線交AB于點H，根據點G的坐標求出H的坐標，根據三角形的面積求解即可.

(1)∵OC=OD=4

∴∠OCD=45°

∵CE=t，

∴CF=FE=t

∴F點為（t，4）

∵△EFG是等腰直角三角形，

∴G點到y軸的距離為t

即G();

(2) ∵CE= , ∴EF=CF=t,FG= ,BF=4-t, ∵∠OCE=∠BFG=45°, ①若△OCE∽△BFG,則 ,即 ，解得t=2; ②若△ECO∽BFG,則，即 ，解得t=-2;綜上所述，當t=2或t=-2時，以C 、E 、O 為頂點的三角形與 相似.

(3)設直線AB的方程為y=kx+b,則 ，解得 ，∴y=-2x+12,

過點G作x軸的平行線交AB于點H, ∵點G的坐標為（），將y=4-代入y=-2x+12得x=4+,∴點H的坐標為（ ）， ，由2，得t= 或t= (舍去).