Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對角線BD上一點，且EA=EC．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△ADE與△CDE中，

，

∴△ADE≌△CDE，

∴∠ADE=∠CDE，

∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠CBD，

∴∠CDE=∠CBD，

∴BC=CD，

∵AD=CD，

∴BC=AD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∵AD=CD，

∴四邊形ABCD是菱形

（2）證明：∵BE=BC

∴∠BCE=∠BEC，

∵∠CBE：∠BCE=2：3，

∴∠CBE=180× =45°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ABE=45°，

∴∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD是正方形

【解析】（1）首先證得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性質可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行線的判定定理可得四邊形ABCD為平行四邊形，由AD=CD可得四邊形ABCD是菱形；（2）由BE=BC可得△BEC為等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的內角和定理可得∠CBE=180× =45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四邊形ABCD是正方形．
【考點精析】本題主要考查了正方形的判定方法的相關知識點，需要掌握先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角才能正確解答此題．