Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+ x+2與x軸交于點A，B，與y軸交于點C．

（1）試求A，B，C的坐標；
（2）將△ABC繞AB中點M旋轉180°，得到△BAD．
①求點D的坐標；
②判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由；
（3）在該拋物線對稱軸上是否存在點P，使△BMP與△BAD相似？若存在，請直接寫出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當y=0時，0=﹣ x2+ x+2，

解得：x1=﹣1，x2=4，

則A（﹣1，0），B（4，0），

當x=0時，y=2，

故C（0，2）

（2）

解：①過點D作DE⊥x軸于點E，

∵將△ABC繞AB中點M旋轉180°，得到△BAD，

∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，

∴D（3，﹣2）；

②∵將△ABC繞AB中點M旋轉180°，得到△BAD，

∴AC=BD，AD=BC，

∴四邊形ADBC是平行四邊形，

∵AC= = ，BC= =2 ，

AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ACB是直角三角形，

∴∠ACB=90°，

∴四邊形ADBC是矩形

（3）

解：由題意可得：BD= ，AD=2 ，

則 = ，

當△BMP∽△ADB時，

= = ，

可得：BM=2.5，

則PM=1.25，

故P（1.5，1.25），

當△BMP1∽△ABD時，

P1（1.5，﹣1.25），

當△BMP2∽△BDA時，

可得：P2（1.5，5），

當△BMP3∽△BDA時，

可得：P3（1.5，﹣5），

綜上所述：點P的坐標為：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）

【解析】（1）直接利用y=0，x=0分別得出A，B，C的坐標；（2）①利用旋轉的性質結合三角形各邊長得出D點坐標；②利用平行四邊形的判定方法結合勾股定理的逆定理得出四邊形ADBC的形狀；（3）直接利用相似三角形的判定與性質結合三角形各邊長進而得出答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．