Question

如圖1，已知△ABC與△DCE都是等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，點D在AC上，直線BD交AE于點F．
（1）請補充完整證明“BD=AE，BF⊥AE”的推理過程；
證明：在△ACE與△BCD中
∵（

AC=BC，∠DCB=∠ECA，DC=EC

）
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴BD=AE，∠CAE=∠CBD（全等三角形的對應角相等）
∵∠ACE=90°
∴∠CAE+∠AEC=90°（

直角三角形的兩銳角互余

）
∴∠CBD+∠AEC=90°（等量代換）
∴

∠BFE=90°

∴BF⊥AE（垂直的定義）
（2）將△DCE繞著點C旋轉，在旋轉過程中保持△DCE的大小與形狀均不變，那么，當△DCE旋轉至圖2的位置時，（1）中的結論是否仍然成立？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據SAS證△ACE≌△BCD，推出BD=AE，∠CAE=∠CBD，根據∠ACE=90°求出∠CAE+∠AEC=90°，推出∠BFE=90°，根據垂直定義推出即可；
（2）求出∠ACE=∠BCD，其余證明過程和（1）類似．

解答：（1）證明：∵在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠CAE=∠CBD，
∵∠ACE=90°，
∴∠CAE+∠AEC=90°（直角三角形的兩銳角互余），
∴∠BFE=90°，
∴BF⊥AE，
故答案為：AC=BC，∠DCB=∠ECA，CE=CD，直角三角形的兩銳角互余，∠BFE=90°．

（2）解：（1）中的結論還成立，
理由是：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠CAE=∠CBD，
∵∠ACE=90°，
∴∠CAE+∠AHC=90°，
∵∠AHC=∠BHF，∠HBF=∠CAH，
∴∠BHF+∠HBF=90°
∴∠BFE=90°，
∴BF⊥AE．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，垂直定義，三角形的內角和定理等知識點的應用，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．