Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，動點E在邊BC上，與點B、C不重合，過點A作DE的垂線，交直線CD于點F．設DF=x，EC=y．

（1）求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

（2）當CF=1時，求EC的長．

（3）若直線AF與線段BC延長線交于點G，當△DBE與△DFG相似時，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1），（0＜x＜8）；（2）EC的長為或；（3）DF的長為或．

【解析】

試題（1）易證△ADF∽△DCE，然后運用相似三角形的性質即可得到y與x的關系，然后根據y的范圍就可得到x的范圍；

（2）由于點F的位置不確定，需分點F在線段DC及點F在線段DC的延長線上兩種情況進行討論，然后利用y與x的關系即可解決問題；

（3）由∠DEC=∠AFD=90﹣∠EDC可得∠BED=∠DFG，因而在△DBE和△DFG中，點E與點F是對應點，故當△DBE與△DFG相似時，可分△DEB∽△GFD和△DEB∽△DFG兩種情況進行討論，然后只需用x的代數式表示ED、FG、EB，再運用相似三角形的性質即可解決問題．

試題解析：（1）如圖1，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴DC=AB=2，∠ADC=∠BCD=90°．

又∵AF⊥DE，

∴∠ADF=∠DCE=90°，∠DAF=∠EDC=90°﹣∠DFA，

∴△ADF∽△DCE，

∴，

∴，即．

∵點E在線段BC上，與點B、C不重合，

∴0＜y＜4，∴0＜＜4，即0＜x＜8，

∴，（0＜x＜8）；

（2）①當點F線段DC上時，

∵CF=1，

∴DF=x=2﹣1=1，此時CE=y=x=；

②當點F線段DC延長線上時，

∵CF=1，

∴DF=x=2+1=3，此時CE=y=x=；

∴當CF=1時，EC的長為或；

（3）在Rt△ADF中，AF=，

在Rt△DCE中，DE=，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴△ADF∽△GCF，

∴，

∴FG=．

∵∠DEC=∠AFD=90﹣∠EDC，

∴∠BED=∠DFG，

∴當△DBE與△DFG相似時，可分以下兩種情況討論：

①△DEB∽△GFD，如圖2，

則有，

∴EDFD=FGEB，

∴（4﹣x），

解得：x=．

②若△DEB∽△DFG，如圖3，

則有，

∴EDFG=EBFD，

∴（4﹣x），

整理得：3x2+8x﹣16=0，

解得：x1=，x2=﹣4（舍去）．

綜上所述：DF的長為或．