Question

【題目】已知拋物線的圖象經過點、，頂點為，與軸交于點．

求拋物線的解析式和頂點的坐標；

如圖，為線段上一點，過點作軸平行線，交拋物線于點，當的面積最大時，求點的坐標；

如圖，若點是直線上的動點，點、、所構成的三角形與相似，請直接寫出所有點的坐標；

如圖，過作軸于點，是軸上一動點，是線段上一點，若，則的最大值為________，最小值為________．

Answer 1

【答案】(1)拋物線解析式為y=x2+2x+3，頂點坐標E(1,4).（2）P(,).（3）Q點坐標為(3,0),(3,6), (,)，(,).（4）m的最大值為5,最小值為54.

【解析】

（1）利用待定系數法，把A、B兩點坐標代入拋物線的解析式，轉化為解方程組即可．
（2）設P（a，3-a），則D（a，-a2+2a+3），根據S△BDC=S△PDC+S△PDB，構建二次函數，利用二次函數的性質解決即可．

（3）根據相似三角形性質和判定，分類討論.
（4）首先過C作CH⊥EF于H點，則CH=EH=1，然后分別從點M在EF左側與M在EF右側時去分析求解即可求得答案．

(1)∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經過點A(1,0)、B(3,0)，

∴,

解得，

∴拋物線解析式為y=x2+2x+3，

頂點坐標E(1,4).

(2)如圖1中，

∵B(3,0),C(0,3)

∴直線BC的解析式為y=x+3，

設P(a,3a),則D(a,a2+2a+3)，

∴PD=(a2+2a+3)(3a)=a2+3a，

∴S△BDC=S△PDC+S△PDB=

PDa+PD(3a)=PD3，

=(a2+3a)=(a)2+，

∵<0，

∴當a=時,△BDC的面積最大,此時P(,).

(3)如圖2中，

∵C(0,3),E(1,4),B(3,0)，

∴直線EC的解析式為y=x+3，直線BC的解析式為y=x+3，

∵1×(1)=1，

∴EC⊥BC，

∴∠ECB=90，

∴當或時，點Q、C、E所構成的三角形與△AOC相似，

即=或=，

∴CQ=或3，

∴Q1(3,0),Q2(,)，

根據對稱性可知當Q3(,),Q4(3,6)時也滿足條件，

綜上所述,Q點坐標為(3,0),(3,6), (,)，(,).

(4)如圖3中，過C作CH⊥EF于H點，則CH=EH=1，

當M在EF左側時，

∵∠MNC=90，

則△MNF∽△NCH，

∴，

設FN=n，則NH=3n，

∴，

即n23nm+1=0，

關于n的方程有解,△=(3)24(m+1)0，

得m54，

當M在EF右側時,Rt△CHE中,CH=EH=1,∠CEH=45,即∠CEF=45，

作EM⊥CE交x軸于點M,則∠FEM=45，

∵FM=EF=4，

∴OM=5，

即N為點E時，OM=5，此時m的值最大，

∴m5，

∴m的最大值為5,最小值為54，