Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A出發，沿AB邊向點B以每秒1cm的速度移動，同時點Q從點B出發沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動P、Q兩點在分別到達B、C兩點后就停止移動，設兩點移動的時間為t秒，回答下列問題：

（1）如圖1，當t為幾秒時，△PBQ的面積等于5cm2？

（2）如圖2，當t=秒時，試判斷△DPQ的形狀，并說明理由；

（3）如圖3，以Q為圓心，PQ為半徑作⊙Q．

①在運動過程中，是否存在這樣的t值，使⊙Q正好與四邊形DPQC的一邊（或邊所在的直線）相切？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；

②若⊙Q與四邊形DPQC有三個公共點，請直接寫出t的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）1秒或5秒（2）直角三角形（3）①t=0或t=﹣18+12②0＜t＜6﹣18

【解析】試題分析：（1）由題意可知PA=t，BQ=2t，從而得到PB=6﹣t，BQ=2t，然后根據△PQB的面積=5cm2列方程求解即可；

（2）由t=，可求得AP=，QB=3，PB=，CQ=9，由勾股定理可證明DQ2+PQ2=PD2，由勾股定理的逆定理可知△DPQ為直角三角形；

（3）①當t=0時，點P與點A重合時，點B與點Q重合，此時圓Q與PD相切；當⊙Q正好與四邊形DPQC的DC邊相切時，由圓的性質可知QC=QP，然后依據勾股定理列方程求解即可；

②先求得⊙Q與四邊形DPQC有兩個公共點時t的值，然后可確定出t的取值范圍．

試題解析：（1）∵當運動時間為t秒時，PA=t，BQ=2t，

∴PB=6﹣t，BQ=2t．

∵△PBQ的面積等于5cm2，

∴PBBQ=（6﹣t）2t．

∴．

解得：t1=1，t2=5．

答：當t為1秒或5秒時，△PBQ的面積等于5cm2．

（2）△DPQ的形狀是直角三角形．

理由：∵當t=秒時，AP=，QB=3，

∴PB=6﹣=，CQ=12﹣3=9．

在Rt△PDA中，由勾股定理可知：PD2=DA2+PA2=122+（）2=．

同理：在Rt△PBQ和Rt△DCQ中由勾股定理可得：DQ2=117，PQ2=．

∵117+=，

∴DQ2+PQ2=PD2．

所以△DPQ的形狀是直角三角形．

（3）①（Ⅰ）由題意可知圓Q與AB、BC不相切．

（Ⅱ）如圖1所示：當t=0時，點P與點A重合時，點B與點Q重合．

∵∠DAB=90°，

∴∠DPQ=90°．

∴DP⊥PQ．

∴DP為圓Q的切線．

（Ⅲ）當⊙Q正好與四邊形DPQC的DC邊相切時，如圖2所示．

由題意可知：PB=6﹣t，BQ=2t，PQ=CQ=12﹣2t．

在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2=PB2+QB2，即（6﹣t）2+（2t）2=（12﹣2t）2．

解得：t1=﹣18+12，t2=﹣18﹣12（舍去）．

綜上所述可知當t=0或t=﹣18+12時，⊙Q與四邊形DPQC的一邊相切．

②（Ⅰ）當t=0時，如圖1所示：⊙Q與四邊形DPQC有兩個公共點；

（Ⅱ）如圖3所示：當圓Q經過點D時，⊙Q與四邊形DPQC有兩個公共點．

由題意可知：PB=6﹣t，BQ=2t，CQ=12﹣2t，DC=6．

由勾股定理可知：DQ2=DC2+CQ2=62+（12﹣2t）2，PQ2=PB2+QB2=（6﹣t）2+（2t）2．

∵DQ=PQ，

∴DQ2=PQ2，即62+（12﹣2t）2=（6﹣t）2+（2t）2．

整理得：t2+36t﹣144=0．

解得：t1=6﹣18，t2=﹣6﹣18（舍去）．

∴當0＜t＜6﹣18時，⊙Q與四邊形DPQC有三個公共點．