Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ABC＝90°，AC＝AD＝2，M、N分別為AC、CD的中點，連接BM、MN、BN．

(1)求證：BM＝MA；

(2)若∠BAD＝60°，求BN的長；

(3)當∠BAD＝　 　°時，BN＝1．(直接填空)

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)BN＝；(3)40°．

【解析】

（1）根據直角三角形斜邊中線定理得BM=AC，由此即可證明．
（2）首先證明∠BMN=90°，根據BN2=BM2+MN2即可解決問題；
（3）根據等邊三角形的判定和性質定理即可得到結論．

解：(1)證明：在△CAD中，

∵M、N分別是AC、CD的中點，

∴MN∥AD，MN＝AD，

在Rt△ABC中，∵M是AC中點，

∴BM＝AC，

∵AC＝AD，

∴MN＝BM；

(2)∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC＝30°，

由(1)可知，BM＝AC＝AM＝MC，

∴∠BMC＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM＝60°，

∵MN∥AD，

∴∠NMC＝∠DAC＝30°，

∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝90°

∴BN2＝BM2+MN2，

由(1)可知MN＝BM＝1，

∴BN＝；

(3)∵∠BAD＝40°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC＝20°，

由(1)可知，BM＝AC＝AM＝MC，

∴∠BMC＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM＝40°，

∵MN∥AD，

∴∠NMC＝∠DAC＝20°，

∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝60°

由(1)可知MN＝BM＝1，

∴BN＝1．

故答案為：40°．