Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象經過A、E兩點，且點E的坐標為（﹣，0），以0C為直徑作半圓，圓心為D．

（1）求二次函數的解析式；

（2）求證：直線BE是⊙D的切線；

（3）若直線BE與拋物線的對稱軸交點為P，M是線段CB上的一個動點（點M與點B，C不重合），過點M作MN∥BE交x軸與點N，連結PM，PN，設CM的長為t，△PMN的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．S是否存在著最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3），S存在最大值，當t＝1時，S最大＝.

【解析】

（1）利用待定系數法，根據題意易得點A、B的坐標，然后把點A、B、E的坐標分別代入二次函數解析式，列出關于a、b、c的方程組，利用三元一次方程組來求得系數的值；

（2）過點D作DG⊥BE于點G，構建相似三角形△EGD∽△ECB，根據它的對應邊成比例得DG的值，利用待定系數法求得直線BE的解析式，由此求得DG＝1（圓的半徑是1），則易證得結論；

（3）由（2）中可求得點P的坐標，由相似三角形△MNC∽△BEC的對應邊成比例，線段間的和差關系得到CN、DN的值，由題可得S＝S△PND＋S梯形PDCMS△MNC，再結合拋物線的性質可求得S的最值．

解：（1）由題意，得A（0，2），點B（2，2），E的坐標為（，0）

則，解得

故二次函數的解析式為：;

（2）如圖1，過點D作DG⊥BE于點G，

由題意，得

ED＝，EC＝，BC＝2

∴BE＝

∵∠BEC＝∠DEG，∠EGD＝∠ECB＝90°

∴△EGD∽△ECB

∴，

∴DG＝1

∵圓D的半徑為1，且DG⊥BE

∴BE是圓D的切線

（3）如圖2，過點M作MN∥BE交x軸與點N，連結PM，PN，

依題意，得，點B（2，2），E的坐標為（，0），

故設直線BE為y＝kx+h（k≠0）

則有，解得，

∴直線BE為：

∵直線BE與拋物線的對稱軸交點為P，對稱軸為x＝1

∴點P的縱坐標為y＝，即P（1，）

∵MN∥BE

∴∠MNC＝∠BEC

∵∠MCN＝∠BCE＝90°

∴△MNC∽△BEC

∴

∴，即，

∴,

∴S△PND＝

S△MNC＝

S梯形PDCM＝

∴S＝S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC＝（0＜t＜2）

∵拋物線S＝（0＜t＜2）的開口方向向下

∴S存在最大值，當t＝1時，S最大＝.