Question

【題目】如圖，在中，，以AB為直徑的圓交AC于點D,E是BC的中點，連接DE.

（1）求證：DE是的切線；

（2）設的半徑為r，證明；

（3）若，求AD之長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）由E為BC的中點，O為AB的中點，得到OE是△ABC的中位線，進而得到OE∥AC．再由平行線的性質及等腰三角形的性質可證∠1=∠2，即可得到△ODE≌△OBE，根據全等三角形對應角相等即可得到結論；

（2）證明△ADB∽△OBE，由相似三角形對應邊成比例即可得到結論；

（3）根據切線長定理得到BE=DE=4．

由OE∥AC，得到∠4=∠C，則，解直角三角形OBE可得OB，OE的長，代入（2）中結論，即可得出AD的長．

（1）∵AB⊥BC，∴∠OBC=90°．

∵E為BC的中點，O為AB的中點，

，

∴∠1=∠ODA，∠2=∠A．

∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∴∠1=∠2．

∵OD=OB，∠1=∠2，OE=OE，

∴△ODE≌△OBE，

∴∠ODE=∠OBE=90°，

∴DE為的切線；

（2）∵∠2=∠A，，

，

，

，

因此，；

（3）∵DE、BE是⊙O的切線，∴BE=DE=4．

又∵，

，

，

∴．

設OB=3x，則OE=5x，BE=4x．

∵BE=4，∴x=1，∴OB=3，OE=5．

又由（2）得：，

即：，

．