Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，此時PD=3．

（1）求MP的值
（2）在AB邊上有一個動點F，且不與點A，B重合．當AF等于多少時，△MEF的周長最小？
（3）若點G，Q是AB邊上的兩個動點，且不與點A，B重合，GQ=2．當四邊形MEQG的周長最小時，求最小周長值．（計算結果保留根號）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴CD=AB=4，∠D=90°，

∵矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，

∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，

∴MP==5；

（2）

解：如圖1，作點M關于AB的對稱點M′，連接M′E交AB于點F，則點F即為所求，過點E作EN⊥AD，垂足為N，

∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，

∴AM=AM′=4，

∵矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，

∴∠CEP=∠MEP，

而∠CEP=∠MPE，

∴∠MEP=∠MPE，

∴ME=MP=5，

在Rt△ENM中，MN===3，

∴NM′=11，

∵AF∥ME，

∴△AFM′∽△NEM′，

∴=，即=，解得AF=，

即AF=時，△MEF的周長最小.

（3）

解：如圖2，由（2）知點M′是點M關于AB的對稱點，在EN上截取ER=2，連接M′R交AB于點G，再過點E作EQ∥RG，交AB于點Q，

∵ER=GQ，ER∥GQ，

∴四邊形ERGQ是平行四邊形，

∴QE=GR，

∵GM=GM′，

∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此時MG+EQ最小，四邊形MEQG的周長最小，

在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，

M′R==5，

∵ME=5，GQ=2，

∴四邊形MEQG的最小周長值是7+5．

【解析】（1）根據折疊的性質和矩形性質以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，然后利用勾股定理可計算出MP=5；
（2）如圖1，作點M關于AB的對稱點M′，連接M′E交AB于點F，利用兩點之間線段最短可得點F即為所求，過點E作EN⊥AD，垂足為N，則AM=AD﹣MP﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再證明ME=MP=5，接著利用勾股定理計算出MN=3，所以NM′=11，然后證明△AFM′∽△NEM′，則可利用相似比計算出AF；
（3）如圖2，由（2）知點M′是點M關于AB的對稱點，在EN上截取ER=2，連接M′R交AB于點G，再過點E作EQ∥RG，交AB于點Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用兩點之間線段最短可得此時MG+EQ最小，于是四邊形MEQG的周長最小，在Rt△M′RN中，利用勾股定理計算出M′R=5 ， 易得四邊形MEQG的最小周長值是7+5．
此題考查了幾何圖形中的折疊問題，涉及勾股定理，三角形相似以及最值問題。