Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax2+2ax+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，3），tan∠OAC= ．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)H是線(xiàn)段AC上任意一點(diǎn)，過(guò)H作直線(xiàn)HN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，求線(xiàn)段PH的最大值；
（3）點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在點(diǎn)M使點(diǎn)E恰好落在對(duì)稱(chēng)軸上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵C（0，3），

∴OC=3，

∵tan∠OAC= ，

∴OA=4，

∴A（﹣4，0）．

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，

得 ，解得： ，

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣ x2﹣ x+3

（2）

解：設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b，

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，

得： ，解得： ，

∴直線(xiàn)AC的解析式為y= x+3．

設(shè)N（x，0）（﹣4＜x＜0），則H（x， x+3），P（x，﹣ x2﹣ x+3），

∴PH=﹣ x2﹣ x+3﹣（ x+3）=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+2）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴PH有最大值，

當(dāng)x=﹣2時(shí)，PH取最大值，最大值為

（3）

解：過(guò)點(diǎn)M作MK⊥y軸于點(diǎn)K，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)G，則∠MGE=∠MKC=90°，

∴∠MEG+∠EMG=90°，

∵四邊形CMEF是正方形，

∴EM=MC，∠MEC=90°，

∴∠EMG+∠CMK=90°，

∴∠MEG=∠CMK．

在△MCK和△MEG中， ，

∴△MCK≌△MEG（AAS），

∴MG=CK．

由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣1，設(shè)M（x，﹣ x2﹣ x+3），則G（﹣1，﹣ x2﹣ x+3），K（0，﹣ x2﹣ x+3），

∴MG=|x+1|，CK=|﹣ x2﹣ x+3﹣3|=|﹣ x2﹣ x|=| x2+ x|，

∴|x+1|=| x2+ x|，

∴ x2+ x=±（x+1），

解得：x1=﹣4，x2=﹣ ，x3=﹣ ，x4=2，

代入拋物線(xiàn)解析式得：y1=0，y2= ，y3= ，y4=0，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣4，0），（﹣ ， ），（﹣ ， ）或（2，0）．

【解析】（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)以及tan∠OAC= 可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式；（2）設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b，由點(diǎn)A、C的解析式利用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)AC的解析式，設(shè)N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的坐標(biāo)，由此即可得出PH關(guān)于x的解析式，利用配方法即二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題；（3）過(guò)點(diǎn)M作MK⊥y軸于點(diǎn)K，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)G，根據(jù)角的計(jì)算依據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出△MCK≌△MEG（AAS），進(jìn)而得出MG=CK．設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)利用正方形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)G、K的坐標(biāo)，由正方形的性質(zhì)即可得出關(guān)于x的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程，解方程即可求出x值，將其代入拋物線(xiàn)解析式中即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出關(guān)于x的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)找出關(guān)于x的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程，解方程求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)是關(guān)鍵．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．