Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，AD⊥BC，BD=2，延長AD到E，使AE=2AD，連接BE．

（1）求證：△ABE為等邊三角形；

（2）將一塊含60°角的直角三角板PMN如圖放置，其中點P與點E重合，且∠NEM=60°，邊NE與AB交于點G，邊ME與AC交于點F．求證：BG=AF；

（3）在（2）的條件下，求四邊形AGEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）4

【解析】試題分析：（1）先證明，可知AB=2AD，因為AE=2AD，所以AB=AE，從而可知△ABE是等邊三角形．
（2）由（1）可知： AE=BE，然后求證即可得出BG=AF；
（3）由于∴S四邊形故只需求出△ABE的面積即可．

試題解析：

(1)AB=AC，AD⊥BC，

∴AB=2AD，

∵AE=2AD，

∴AB=AE，

∴△ABE是等邊三角形.

(2)∵△ABE是等邊三角形，

AE=BE，

由(1)

∴∠ABE=∠CAE，

∴∠NEM∠AEN=∠BEA∠AEN，

∴∠AEF=∠BEG，

在△BEG與△AEF中，

∴BG=AF；

(3)由(2)可知：

∴S四邊形

∵△ABE是等邊三角形，

∴AE=AB=4，

∴S四邊形