Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（4，0），經過點A點B拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點C．

（1）求拋物線的關系式；
（2）△ABC的外接圓與軸交于點D，在拋物線上是否存在點M使S△MBC=S△DBC ， 若存在，請求出點M的坐標．
（3）點P是直線y=﹣x上一個動點，連接PB，PC，當PB+PC+PO最小時，求點P的坐標及其最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣4）．

由題意得可知：a=1．

所以拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4．

（2）

解：如圖所示：過點D作直線DM∥BC，交拋物線與點M和點M′．

∵DM∥BC，

∴S△MBC=S△DBC．

∵ODOC=OBOA，

∴4OD=4×1，解得DO=1．

∴D（0，1）．

設直線BC的解析式為y=kx+b，將點B和點C的坐標代入得 ，解得k=1，b=﹣4．

∵DM∥BC，

∴直線DM的解析式為y=x+1．

將y=x+1代入y=x2﹣3x﹣4得：x2﹣3x﹣4=x+1，整理得：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或x=5．

當x=﹣1時，y=0，

∴M′的坐標為（﹣1，0）．

當x=5時，y=6．

∴M的坐標為（5，6）．

綜上所述，點M的坐標為（﹣1，0）或（5，6）．

（3）

解：如圖2所示：△OPC順時針旋轉60°得到△O′C′P′，連結C′P′、PP′、PB，過點C′作C′E⊥x軸，垂足為E．

由旋轉的性質可知：CP′=CP，OP=OP′，∠POP′=60°．

∴△OPP′為等邊三角形．

∴OP=PP′．

∴CP+PB+OP=C′P′+PB+PP′．

∴當點C′P′、PP′\PB在一條直線上時，CP+PB+OP有最小值，最小值=C′B．

∵OP的解析式為y=﹣x，

∴∠POC=45°，

∴∠P′OC′=45°．

∴∠EOC′=30°．

∴EC′= OC′=2，EO=2 ．

∴C′（﹣2 ，﹣2）．

設直線C′B的解析式為y=kx+b，則 ，解得k=2﹣ ，b=4 ﹣8．

∴直線C′B的戒形式為y=（2﹣ ）x+4 ﹣8．

將y=﹣x代入得：﹣x=（2﹣ ）x+4 ﹣8，解得x= ．

∴y= ．

∴點P的坐標為（ ， ）

∵C′（﹣2 ，﹣2）．

∴BE=4+2 ．

依據勾股定理得：BC′= = = =2 =2 =2 +2 ．

所以PB+PC+PO的最小值為2 +2 ．

【解析】（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣4），將a=1代入即可；（2）過點D作直線DM∥BC，交拋物線與點M和點M′．則S△MBC=S△DBC ， 利用相交弦定理可求得OD的長，從而得到點D的坐標，然后可求得DM的解析式，接下來再求得y=x+1與y=x2﹣3x﹣4的交點坐標即可；（3）△OPC順時針旋轉60°得到△O′C′P′，連結C′P′、PP′、PB，過點C′作C′E⊥x軸，垂足為E．先證明△OPP′為等邊三角形，由兩點之間線段最短可知：當點C′P′、PP′\PB在一條直線上時，CP+PB+OP有最小值，最小值=C′B．接下來，在求得C′（﹣2 ，﹣2），然后可求得C′B的解析式為y=（2﹣ ）x+4 ﹣8，然后可求得它與y=﹣x的交點坐標，然后依據勾股定理可求得BC′的值．
【考點精析】本題主要考查了三角形的外接圓與外心的相關知識點，需要掌握過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心才能正確解答此題．