Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+4與x軸、y軸分別交于點A、B．拋物線的頂點P在直線y=﹣x+4上，與y軸交于點C（點P、C不與點B重合），以BC為邊作矩形BCDE，且CD=2，點P、D在y軸的同側．

（1）n= （用含m的代數式表示），點C的縱坐標是 （用含m的代數式表示）．

（2）當點P在矩形BCDE的邊DE上，且在第一象限時，求拋物線對應的函數表達式．

（3）設矩形BCDE的周長為d（d＞0），求d與m之間的函數表達式．

（4）直接寫出矩形BCDE有兩個頂點落在拋物線上時m的值．

Answer 1

【答案】（1）﹣m+4，﹣m2﹣m+4；（2）（3），（4）m=1、m=﹣1、、

【解析】

試題分析：（1）根據二次函數的解析式寫出頂點P的坐標（m，n），又因為點p在直線y=﹣x+4上，將p點坐標代入可求出n，將二次函數化成一般式后得出點C的縱坐標，并將其化成含m的代數式；

（2）當點P在矩形BCDE的邊DE上，且在第一象限時，由CD=2可知，點P的橫坐標為2，可求得縱坐標為2，則P（2，2），得出拋物線對應的函數表達式；

（3）根據坐標表示出邊BC的長，由矩形周長公式表示出d；

（4）首先點B與C不能重合，因此點B不會在拋物線上，則分兩類情況討論：①點C、D在拋物線上時；②點C、E在拋物線上時；由（1）的結論計算出m的值．

試題解析：（1）y=﹣（x﹣m）2+n=﹣x2+mx﹣m2+n，

∴P（m，n），

∵點P在直線y=﹣x+4上，

∴n=﹣m+4，

當x=0時，y=﹣m2+n=﹣m2﹣m+4，

即點C的縱坐標為：﹣ m2﹣m+4，

故答案為：﹣m+4，﹣ m2﹣m+4；

（2）∵四邊形BCDE是矩形，

∴DE∥y軸．

∵CD=2，

∴當x=2時，y=2．

∴DE與AB的交點坐標為（2，2）．

∴當點P在矩形BCDE的邊DE上時，拋物線的頂點P坐標為（2，2）．

∴拋物線對應的函數表達式為．

（3）∵直線y=﹣x+4與y軸交于點B，

∴點B的坐標是（0，4）．

當點B與點C重合時，．

解得m1=0，m2=﹣3．

i）當m＜﹣3或m＞0時，如圖①、②，

．．

ii）當﹣3＜m＜0時，如圖③，．

．

（4）如圖④⑤，點C、D在拋物線上時，由CD=2可知對稱軸為：x=±1，即m=±1；

如圖⑥⑦，點C、E在拋物線上時，由B（0，4）和CD=2得：E（﹣2，4）

則4=﹣（﹣2﹣m）2+（﹣m+4），解得：、．

綜上所述：m=1、m=﹣1、、．