Question

【題目】已知∠MAN=135°，正方形ABCD繞點A旋轉．

（1）當正方形ABCD旋轉到∠MAN的外部（頂點A除外）時，AM，AN分別與正方形ABCD的邊CB，CD的延長線交于點M，N，連接MN．

①如圖1，若BM=DN，則線段MN與BM+DN之間的數量關系是 ；

②如圖2，若BM≠DN，請判斷①中的數量關系是否仍成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

（2）如圖3，當正方形ABCD旋轉到∠MAN的內部（頂點A除外）時，AM，AN分別與直線BD交于點M，N，探究：以線段BM，MN，DN的長度為三邊長的三角形是何種三角形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①MN=BM+DN；②成立；（2）直角三角形．

【解析】

試題分析：（1）①如圖1，先證明△ADN≌△ABM，得到AN=AM，∠NAD=∠MAB，得到∠NAD=∠MAB=67.5°．作AE⊥MN于E，由等腰三角形三線合一的性質得出MN=2NE，∠NAE=67.5°．再證明△ADN≌△AEN，得出DN=EN，進而得到MN=BM+DN；

②如圖2，先證明△ABM≌△ADP，得出AM=AP，∠1=∠2=∠3，再計算出∠PAN=135°．然后證明△ANM≌△ANP，得到MN=PN，進而得到MN=BM+DN；

（2）如圖3，將△ABM繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADE，連結NE．由旋轉的性質得到DE=BM，AE=AM，∠EAM=90°，∠NDE=90°． 先證明△AMN≌△AEN．得到MN=EN．由DN，DE，NE為直角三角形的三邊，得到以線段BM，MN，DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形．

試題解析：（1）①如圖1，若BM=DN，則線段MN與BM+DN之間的數量關系是MN=BM+DN．理由如下：

在△ADN與△ABM中，∵AD=AB，∠ADN=∠ABM，DN=BM，∴△ADN≌△ABM（SAS），∴AN=AM，∠NAD=∠MAB，∵∠MAN=135°，∠BAD=90°，∴∠NAD=∠MAB=（360°﹣135°﹣90°）=67.5°，作AE⊥MN于E，則MN=2NE，∠NAE=∠MAN=67.5°．在△ADN與△AEN中，∵∠ADN=∠AEN，∠NAD=∠NAE，AN=AN，∴△ADN≌△AEN（AAS），∴DN=EN，∵BM=DN，MN=2EN，∴MN=BM+DN．故答案為：MN=BM+DN；

②如圖2，若BM≠DN，①中的數量關系仍成立．理由如下：

延長NC到點P，使DP=BM，連結AP．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABM=∠ADC=90°．在△ABM與△ADP中，∵AB=AD，∠ABM=∠ADP，BM=DP，∴△ABM≌△ADP（SAS），∴AM=AP，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠4=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠MAN=135°，∴∠PAN=360°﹣∠MAN﹣（∠3+∠4）=360°﹣135°﹣90°=135°．在△ANM與△ANP中，∵AM=AP，∠MAN=∠PAN，AN=AN，∴△ANM≌△ANP（SAS），∴MN=PN，∵PN=DP+DN=BM+DN，∴MN=BM+DN；

（2）以線段BM，MN，DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形．理由如下：

如圖3，將△ABM繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADE，連結NE．由旋轉的性質得：DE=BM，AE=AM，∠EAM=90°，∠NDE=90°． ∵∠MAN135°，∴∠EAN360°∠MAN∠EAM =135°，∴∠EAN =∠MAN．在△AMN與△AEN中，∵AM=AE，∠MAN=∠EAN，AN=AN，∴△AMN≌△AEN．∴MN=EN．∵DN，DE，NE為直角三角形的三邊，∴以線段BM，MN，DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形．