Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，過點A（﹣ ，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點，且B、C兩點的縱坐標分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根

（1）求線段BC的長度；
（2）試問：直線AC與直線AB是否垂直？請說明理由；
（3）若點D在直線AC上，且DB=DC，求直線BD的解析式；
（4）在x軸上是否存在P，使以O、B、P三點為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵由x2﹣2x﹣3=0得：

∴x1=3，x2=﹣1

∴B（0，3），C（0，﹣1），

∴BC=4．

（2）

解：結論：AC⊥AB．理由如下：

∵A（ ，0），B（0，3），C（0，﹣1），

∴OA= ，OB=3，OC=1，

∴tan∠ABO= = ，tan∠ACO= = ，

∴∠ABO=30°，∠ACO=60°，

∴∠BAC=90°，

∴AC⊥AB

（3）

解：如圖1中，過D作DE⊥x軸于E．

∴∠DEA=∠AOC=90°，

∵tan∠ACO= = ，

∵∠DCB=60°

∵DB=DC，

∴△DBC是等邊三角形，

∵BA⊥DC，

∴DA=AC，

∵∠DAE=∠OAC，

∴△ADE≌△ACO，

∴DE=OC=1，AE=OA=

∴ ，

∴D的坐標為（ ，1）．

設直線BD的解析式為y=kx+b，則有 解得 ，

∴直線BD的解析式為y= x+3

（4）

解：存在．如圖2中，延長BD交x軸于P1．

由（3）可知，△DBC是等邊三角形，

∴∠P1BO=60°，

∵在△ABC中，∠ACB=60°，∠CAB=90°，

∴∠P1BC=∠ACB=60°，∵∠P1OB=∠CAB=90°，

∴△P1BO∽△BCA，

∴ = ，

∴ = ，

∴OP1=3 ，

∴P1（﹣3 ，0），

當P2與A重合時，△BOP2∽△BAC，此時P2（﹣ ，0），

再根據對稱性可得P3（ ，0），P4（3 ，0）也符合條件．

綜上所述，點P的坐標為（﹣3 ，0）或（﹣ ，0）或（ ，0）或（3 ，0）

【解析】（1）列方程即可求出點B、C坐標解決問題．（2）由tan∠ABO= = ，tan∠ACO= = ，推出∠ABO=30°，∠ACO=60°，即可解決問題．（3）如圖1中，過D作DE⊥x軸于E．由△ADE≌△ACO，推出DE=OC=1，AE=OA= ，求出點D坐標，利用待定系數法即可解決問題．（4）存在．如圖2中，延長BD交x軸于P1 ． 可以證明P1滿足條件，當P2與A重合時也滿足條件，再根據對稱性寫出P3、P4坐標即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解一次函數的性質的相關知識，掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小，以及對一次函數的圖象和性質的理解，了解一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠．