Question

【題目】如圖1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD : AD : CD＝2 : 3 : 4，

（1）求證：AB=AC；

（2）已知S△ABC＝40cm2，如圖2，動點M從點B出發以每秒1cm的速度沿線段BA向點A 運動，同時動點N從點A出發以相同速度沿線段AC向點C運動，當其中一點到達終點時整個運動都停止. 設點M運動的時間為t（秒），

①若△DMN的邊與BC平行，求t的值；

②若點E是邊AC的中點，問在點M運動的過程中，△MDE能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）①5或6；②9或10或.

【解析】試題分析：（1）設BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，由勾股定理得：AC＝5x，AB＝5x，AB＝AC，從而得到△ABC是等腰三角形；

（2）＝40cm2，得到x＝2cm，從而得到BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．分兩種情況討論：

①當MN∥BC時，AM＝AN；當DN∥BC時，AD＝AN，分別求出t的值；

②當點M在BD上，即0≤t＜4時，△MDE為鈍角三角形，但DM≠DE；

當t＝4時，點M運動到點D，不構成三角形；

當點M在DA上，即4＜t≤10時，△MDE為等腰三角形，有3種可能．DE＝DM；ED＝EM；MD＝ME，分別求出t的值．

試題解析：（1）設BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，（x＞0）在Rt△ACD中，AC＝5x，另AB＝5x，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；

（2）＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，∴x＝2cm，則BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．

①當MN∥BC時，AM＝AN，即10－t＝t，∴t＝5；

當DN∥BC時，AD＝AN，有 t＝6；

故若△DMN的邊與BC平行時，t值為5或6；

②當點M在BD上，即0≤t＜4時，△MDE為鈍角三角形，但DM≠DE；

當t＝4時，點M運動到點D，不構成三角形；

當點M在DA上，即4＜t≤10時，△MDE為等腰三角形，有3種可能．

如果DE＝DM，則t－4＝5，∴t＝9；

如果ED＝EM，則點M運動到點A，∴t＝10；

如果MD＝ME＝t－4，則，∴t＝．

綜上所述，符合要求的t值為9或10或．