Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點F的坐標為（0，10）．點E的坐標為（20，0），直線l1經過點F和點E，直線l1與直線l2 、y=x相交于點P．

（1）求直線l1的表達式和點P的坐標；

（2）矩形ABCD的邊AB在y軸的正半軸上，點A與點F重合，點B在線段OF上，邊AD平行于x 軸，且AB=6，AD=9，將矩形ABCD沿射線FE的方向平移，邊AD始終與x 軸平行．已知矩形ABCD以每秒個單位的速度勻速移動（點A移動到點E時止移動），設移動時間為t秒（t＞0）．

①矩形ABCD在移動過程中，B、C、D三點中有且只有一個頂點落在直線l1或l2上，請直接寫出此時t的值；

②若矩形ABCD在移動的過程中，直線CD交直線l1于點N，交直線l2于點M．當△PMN的面積等于18時，請直接寫出此時t的值．

Answer 1

【答案】（1）直線l1的表達式為y=﹣x+10，點P坐標為（8，6）；（2）①t值為或；②當t=時，△PMN的面積等于18.

【解析】（1）利用待定系數法求解析式，函數關系式聯立方程求交點；

（2）①分析矩形運動規律，找到點D和點B分別在直線l2上或在直線l1上時的情況，利用AD、AB分別可以看成圖象橫坐標、縱坐標之差構造方程求點A坐標，進而求出AF距離；

②設點A坐標，表示△PMN即可．

（1）設直線l1的表達式為y=kx+b，

∵直線l1過點F（0，10），E（20，0），

∴，解得：，

直線l1的表達式為y=﹣x+10，

解方程組得，

∴點P坐標為（8，6）；

（2）①如圖，當點D在直線上l2時，

∵AD=9

∴點D與點A的橫坐標之差為9，

∴將直線l1與直線l2 的解析式變形為x=20﹣2y，x=y，

∴y﹣（20﹣2y）=9，

解得：y=，

∴x=20﹣2y=，

則點A的坐標為：（，），

則AF=，

∵點A速度為每秒個單位，

∴t=；

如圖，當點B在l2 直線上時，

∵AB=6，

∴點A的縱坐標比點B的縱坐標高6個單位，

∴直線l1的解析式減去直線l2 的解析式得，

﹣x+10﹣x=6，

解得x=，

y=﹣x+10=，

則點A坐標為（，）

則AF=，

∵點A速度為每秒個單位，

∴t=，

故t值為或；

②如圖，

設直線AB交l2 于點H，

設點A橫坐標為a，則點D橫坐標為a+9，

由①中方法可知：MN=，

此時點P到MN距離為：a+9﹣8=a+1，

∵△PMN的面積等于18，

∴=18，

解得

a1=-1，a2=﹣-1（舍去），

∴AF=6﹣，

則此時t為，

當t=時，△PMN的面積等于18.