Question

△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C＝Rt∠，AC＝BC＝2，

(1)要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法(如圖1)，比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積大？請說明理由．

(2)圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得正方形面積為s₁；按照甲種剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為s₂(如圖2)，則s₂＝________；再在余下的四個三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形面積和為s₃，繼續操作下去……，則第10次剪取時，s₁₀＝________；

(3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解法1：如圖甲，由題意，得AE＝DE＝EC，即EC＝1， 　　如圖乙，設MN＝x，則由題意，得AM＝MQ＝PN＝NB＝MN＝x， 　　∴，解得 　　∴ 　　又∵ 　　∴甲種剪法所得的正方形面積更大． 　　說明：圖甲可另解為：由題意得點D、E、F分別為AB、AC、BC的中點， 　　解法2：如圖甲，由題意得AE＝DE＝EC，即EC＝1 　　如圖乙，設MN＝x，則由題意得AM＝MQ＝QP＝PN＝NB＝MN＝x， 　　∴，解得 　　又∵，即 　　∴甲種剪法所得的正方形面積更大． 　　(2)　 　　(3)解法1：探索規律可知： 　　剩余三角形面積和為 　　 　　 　　解法2：由題意可知， 　　第一次剪取后剩余三角形面積和為 　　第二次剪取后剩余三角形面積和為 　　第三次剪取后剩余三角形面積和為 　　…… 　　第十次剪取后剩余三角形面積和為