Question

【題目】如圖，在中，為銳角，點為直線上一動點，以為直角邊且在的右側作等腰直角三角形，，.

（1）如果，.

①當點在線段上時，如圖1，線段、的位置關系為___________，數量關系為_____________

②當點在線段的延長線上時，如圖2，①中的結論是否仍然成立，請說明理由.

（2）如圖3，如果，，點在線段上運動。探究：當多少度時，？小明通過（1）的探究，猜想時，.他想過點做的垂線，與的延長線相交，構建圖2的基本圖案，尋找解決此問題的方法。小明的想法對嗎？如不對寫出你的結論；如對按此方法解決問題并寫出理由.

Answer 1

【答案】（1）①垂直，相等；②都成立；（2）當時，

【解析】

（1）①根據∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，運用“SAS”證明△ABD≌△ACE，根據全等三角形性質得出對應邊相等，對應角相等，即可得到線段CE、BD之間的關系；

②先根據“SAS”證明△ABD≌△ACE，再根據全等三角形性質得出對應邊相等，對應角相等，即可得到①中的結論仍然成立；

（2）先過點A作AG⊥AC交BC于點G，畫出符合要求的圖形，再結合圖形判定△GAD≌△CAE，得出對應角相等，即可得出結論．

解：（1）①CE與BD位置關系是CE⊥BD，數量關系是CE=BD．

理由：如圖1，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE．

又 BA=CA，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE （SAS）

∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD．

∵∠ACB=∠B=45°，

∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE⊥BD．

故答案為：垂直，相等；

②都成立

∵，

∴，

∴，

在與中，

∴，

∴，

∴，即；

（2）當時，（如圖）．

理由：過點作交的延長線于點，

則，

∵，

∴，

∴，

∴，

在與中，

∴，

∴，

∴，即．