Question

【題目】閱讀下列材料：

1×2＝（1×2×3﹣0×1×2）

2×3＝（2×3×4﹣1×2×3）

3×4＝（3×4×5﹣2×3×4）

由以上三個等式相加，可得：1×2+2×3+3×4＝×3×4×5＝20，讀完以上材料，請你計算下列各題：

（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（寫出過程）

（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）＝　　；

（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+9×10×11＝　　．

Answer 1

【答案】（1）440，過程見解析；（2）n（n+1）（n+2）；（3）2970

【解析】

根據(jù)給定等式的變化找出變化規(guī)律“n（n+1）= [n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]”．

（1）根據(jù)變化規(guī)律將算式展開后即可得出原式=×10×11×12，此題得解；

（2）根據(jù)變化規(guī)律將算式展開后即可得出原式=n（n+1）（n+2），此題得解；

（3）通過類比找出變化規(guī)律“n（n+1）（n+2）=[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]”，依此規(guī)律將算式展開后即可得出結(jié)論．

觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1×2＝（1×2×3﹣0×1×2），2×3＝（2×3×4﹣1×2×3），3×4＝（3×4×5﹣2×3×4），…，

∴n（n+1）＝[n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]．

（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11

＝（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（10×11×12﹣9×10×11），

＝×10×11×12，

＝440．

（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）

＝（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]，

＝n（n+1）（n+2）．

故答案為：n（n+1）（n+2）．

（3）觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1×2×3＝（1×2×3×4﹣0×1×2×3），2×3×4＝（2×3×4×5﹣1×2×3×4），3×4×5＝（3×4×5×6﹣2×3×4×5），…，

∴n（n+1）（n+2）＝[n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]，

∴原式＝（1×2×3×4﹣0×1×2×3）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（9×10×11×12﹣8×9×10×11），

＝×9×10×11×12，

＝2970．

故答案為：2970．