Question

在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（-1，0），如圖所示；拋物線y=ax²+ax-2經過點B．
（1）求點B的坐標和拋物線的解析式；
（2）△ABC繞AC的中點旋轉180°得到△ABC，試判斷點B是否在拋物線上，請說明理由；
（3）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點P，使A、C、P、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過B作x軸的垂線，設垂足為D，通過證三角形BDC和三角形COA全等來求出B點的坐標；得出B點坐標后，將其代入拋物線的解析式中即可求出a的值，也就確定了拋物線的解析式；
（2）根據（1）求得的B點坐標可知，B點正好和AC的中點的縱坐標相同，因此三角形繞AC中點，選擇180°后，B′的縱坐標不變，由此可求出B′坐標為（2，1）．將其代入拋物線的解析式中即可判定出旋轉后B點是否在拋物線上；
（3）本題符合條件的P點較多：
可將A點的縱坐標代入拋物線的解析式中，可求出兩個Q點的坐標，即可得出AQ的長，然后將C點坐標向左或向右平移AQ個單位，可得出4個符合條件的P點的坐標；取A點關于x軸的對稱點A′，將其縱坐標代入拋物線的解析式中，可得出兩個符合條件的Q點坐標，然后根據直線AC的斜率求出直線PQ的解析式，即可得出P點的坐標，這種情況可得出2個符合條件的P點坐標，綜上所述應該有6個符合條件的P點坐標．

解答：解：（1）過點B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°；
∴∠BCD=∠CAO；
又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，
∴BD=OC=1，CD=OA=2；
∴點B的坐標為（-3，1）；
∵拋物線y=ax²+ax-2經過點B（-3，1），則得到1=9a-3a-2，
解得a=

1

2

，
所以拋物線解析式為y=

1

2

x²+

1

2

x-2；

（2）B（2，1）
經檢驗點B（2，1）在拋物線y=

1

2

x²+

1

2

x-2．

（3）P₁（

-1+ 33

2

，0），P₂（

-1- 33

2

，0），P₃（

-3+ 33

2

，0），P₄（

-3- 33

2

，0），P₅（0，0），P₆（1，0）

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質、二次函數解析式的確定、圖形的旋轉、函數圖象交點、平行四邊形的判定等知識，要注意的是（3）題中要將所有可能的條件都考慮到，不要漏解．