Question

【題目】如圖①，已知OC是∠AOB內部的一條射線，M、N分別為OA、OB上的點，線段OM、ON同時開始旋轉，線段OM以30度/秒繞點O逆時針旋轉，線段ON以10度/秒的速度繞點O順時針旋轉，當OM旋轉到與OB重合時，線段OM、ON都停止旋轉．設OM的旋轉時間為t秒．

（1）若∠AOB＝140°，當t＝2秒時，∠MON＝　 　，當t＝4秒時，∠MON＝　 　；

（2）如圖②，若∠AOB＝140°，OC是∠AOB的平分線，求t為何值時，兩個角∠NOB與∠COM中的其中一個角是另一個角的2倍．

（3）如圖③，若OM、ON分別在∠AOC、∠COB內部旋轉時，總有∠COM＝3∠CON，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）60°，20°；（2）t＝或2或時；（3）＝．

【解析】

（1）當t=2秒時，線段OM與ON未相遇，根據∠MON＝∠AOB-∠AOM-∠BON計算即可；當t=4時，線段OM與ON已相遇過，根據∠MON＝∠BON-（∠AOB-∠AOM）計算即可；

（2）分兩種情況討論，列出方程可求解；

（3）由∠COM＝3∠CON，列出關于∠AOB，∠BOC的等式，即可求解．

（1）當t＝2s時，∠MON＝140°﹣10°×2﹣30°×2＝60°，如圖，

當t＝4s時，∠MON＝4×10°-（140°-4×30°）＝20°，如圖，

故答案為：60°，20°；

（2）若∠COM＝2∠BON時，|30°t﹣70°|＝2×10°×t，

∴t＝或7（不合題意舍去）

當∠BON＝2∠COM時，2|30°t﹣70°|＝10°×t，

∴t＝2或，

綜上所述當t＝或2或時，兩個角∠NOB與∠COM中的其中一個角是另一個角的2倍．

（3）∵∠COM＝3∠CON，

∴∠AOB﹣∠BOC﹣30°×t＝3（∠BOC﹣10°×t），

∴∠AOB＝4∠BOC，

∴＝．