Question

如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點E．
（1）①求證：△ABE∽△ADB；
②若AE=2，ED=4，求⊙O的面積；
（2）延長DB到F，使得BF=BO，連接FA，若AC∥FD，試判斷直線FA與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

（1）①∵⊙O的弦AB=AC，∴弧AB=弧AC，
∴∠ABE=∠ADB，
又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB；
②∵△ABE∽△ADB，
∴，可得AB²=AD×AE
∵AE=2，ED=4，
∴AB²=AD×AE=6×2=12，可得AB=2，
∵BD為⊙O的直徑，
∴Rt△ABD中，BD==4
所以⊙O的半徑為R=2，可得⊙O的面積為：S=πR²=12π（平方單位）
（2）直線FA與⊙O相切
證明如下：連接AO

∵AC∥FD，∴∠C=∠CBD
∴弧AC=弧CD，
∵弧AB=弧AC，得弧AC=弧BAD
∴∠AOB=×180°=60°，
可得△ABO是等邊三角形．
∴△ABF中，∠FBA=180°-∠ABO=120°
∵BF=BO=AB=BD
∴∠F=∠FBA=30°
因此可得∠FBA+∠BAO=30°+60°=90°
∴OA⊥FA，直線FA過半徑OA的外端且與半徑OA垂直，
∴直線FA與⊙O相切

（1）①根據等弧所對的圓周角相等，結合公共角，可得∠ABE=∠ADB且∠BAE=∠DAB，不難得到△ABE∽△ADB；
②由△ABE∽△ADB，可得AB²=AD×AE，代入數據可得AB²=12，結合BD為⊙O的直徑，可在Rt△ABD中，求出BD=4，從而得到⊙O的半徑為2，最后利用圓面積公式即得⊙O的面積．
（2）直線FA與⊙O相切．連接AO，利用平行線的內錯角相等，得到∠C=∠CBD，從而弧AC=弧CD，再結合弧AB=弧AC，得到弧AC=弧BAD，所以∠AOB=60°，得△ABO是等邊三角形．接下來不難在等腰△ABF中，算出∠F=∠FBA=30°，因此可得∠FBA+∠BAO=30°+60°=90°，OA⊥FA，得到直線FA與⊙O相切．